报告题目：Multiscale methods and analysis for the highly oscillatory nonlinear Klein-Gordon equation
报 告 人：包维柱 教授（新加坡国立大学）
报告时间：2023年11月7日（星期二）上午10：00-11：00
报告地点：数学院205室
报告摘要：In this talk, I begin with the nonlinear Klein-Gordon equation (NKGE) under two important parameter regimes, i.e. one is nonrelativisitic regime and the other is long-time dynamics with weak nonlinearity or small initial data,while the NKGE is highly oscillatory. I first review our recent works on numerical methods and analysis for solving the NKGE in the nonrelativistic regime, involving a small dimensionless parameter which is inversely proportional to the speed of light. In this regime, the solution is highly oscillating in time and the energy becomes unbounded, which bring significant difficulty in analysis and heavy burden in numerical computation. We begin with four frequently used finite difference time domain (FDTD) methods and obtain their rigorous error estimates in the nonrelativistic regime by paying particularly attention to how error bounds depend explicitly on mesh size and time step as well as the small parameter. Then we consider a numerical method by using spectral method for spatial derivatives
combined with an exponential wave integrator (EWI) in the Gautschi-type for temporal derivatives to discretize the NKGE. Rigorious error estimates show that the EWI spectral method show much better temporal resolution than the FDTD methods for the NKGE in the nonrelativistic regime. In order to design a multiscale method for the NKGE, we establish error estimates of FDTD and EWI spectral methods for the nonlinear Schrodinger equation perturbed with a wave operator. Based on a large-small amplitude wave decompostion to the solution of the NKGE, a multiscale method is presented for discretizing the NKGE in the nonrelativistic regime. Rigorous error estimates show that this multiscale method converges uniformly in spatial/temporal discretization with respect to the small parameter for the NKGE in the nonrelativistic regime. Finally, I discuss issues related error bounds of different numerical methods for the long-time dynamics of NKGE with weak nonlinearity and applications to several highly oscillatory dispersive partial differential equations.

专家简介：新加坡国立大学（NUS）理学院副院长，新加坡科学院院士，美国工业与应用数学学会会士（SIAM Fellow），美国数学会会士（AMS Fellow）。曾就读于清华大学数学系，于1992年获学士学位，1995年毕业于清华大学，获硕士和博士学位。曾先后在清华大学、英国帝国理工学院及美国佐治亚理工学院任教、做博士后或访问学者。2001年起，在新加坡国立大学工作，并于2009年晋升为教授。现为该校数学系provost’s讲座教授。此外2011年起，兼职于北京计算科学研究中心，任客座教授，指导博士后研究工作。2013年获冯康科学计算奖，2014年应邀在韩国举行的第26届国际数学家大会上作45分钟邀请报告，担任包括SIAM Journal on Scientific Computing等多个国际期刊杂志编委。包维柱教授长期从事科学与工程计算研究，主要工作涉及偏微分方程数值方法及其在量子物理、流体和材料中的应用。特别是在Bose-Einstein 凝聚的数值方法及应用、高震荡色散类偏微分方程的多尺度算法和分析、无界区域上科学和工程问题的计算等方面取得了多个重要进展。